数学研究所

中国科学院华罗庚数学重点实验室

数学所讲座

（第117讲）

(The Institute Lecture)

报告人： 麻小南 教授（南开大学）

题  目：从行列式到解析挠率

时  间：2025.03.05 (星期三), 15:30-17:00 (15:00-15:30为茶点时间, 茶点地点: 数学院南楼N933)

地  点：数学院南楼N204

腾讯会议：708-627-105 密码：123456

摘 要:  众所周知，方阵的行列式等于其特征值的乘积。那么，行列式在无穷维情形下的对应概念是什么呢？

在泛函分析中，存在多个版本的推广：对于在希尔伯特空间上与恒等算子相差一个迹类算子的有界算子，我们有 Fredholm 行列式。对于无界算子，其函数行列式可以定义为 其ζ函数在零点的导数的指数，前提是该ζ函数具有解析延拓。

在拓扑学中，Reidemeister 挠率 于 1935 年被提出，它是第一个满足微分同胚不变量性质但不满足同伦不变性的拓扑不变量。它可以解释为 在任意三角剖分下，组合 Laplacian 行列式的加权组合（有限维情形）。1971 年，Ray 和 Singer 提出了 解析挠率，它是 de Rham 复形上 Laplacian 的函数行列式的加权组合，这是一个本质上无穷维的构造。

Cheeger-Müller 定理（1978）以及 Bismut-张伟平（1992）对其的推广建立了这两种挠率之间的深刻联系。本次报告将介绍这一理论的发展历程，讨论最新进展，并探讨其在拓扑学与算术中的应用。

麻小南教授简介:麻小南, 现为南开大学教授，国际数学家大会（ICM）报告人。麻小南的主要研究领域为微分几何、复几何以及拓扑。他尤其专注于流形上的指标理论以及整体分析的研究，主要研究eta不变量和解析挠率的解析、微分-拓扑性质，椭圆亏格，Bergman核，几何量子化以及相关课题。麻小南与张伟平曾运用解析局部化的思想和技巧，解决了法国科学院院士Vergne在2006年国际数学家大会全会报告中提出的非紧空间上的几何量子化猜想。麻小南曾多次获得国际大奖：2006年西班牙费兰·苏涅尔·巴拉格尔（Ferran Sunyer i Balaguer) 奖、2017年法国科学院索菲·热尔曼（Sophie Germain）年度大奖、2022年盖-吕萨克—洪堡（Gay-Lussac–Humboldt) 奖。

数学所讲座(The Institute Lecture)：旨在讲解现代数学的重要内容及其思想、方法和影响，扩展科研人员和研究生的视野，提高数学修养，加强相互交流，增强学术气氛。时间一般安排在每月第一个星期三（寒暑假除外）。